Punkte einer Geraden rechnerisch überprüfen
Du sollst zwei gegebene Punkte rechnerisch überprüfen, ob sie auf einer Geraden liegen, ohne sie dabei vorher zu zeichnen. Ein solcher Punkt besteht aus einer x- und einer y-Koordinate, wobei die y-Koordinate von der x-Koordinate abhängt. Das bedeutet, anhand der x-Koordinate kannst du die y-Koordinate bestimmen.
Die beiden Punkte sind P1 (-3|-3) und P2 (2|6), die Gleichung der Geraden lautet y = 2x + 3.
Die y-Werte bzw. die y-Koordinaten sind vom x-Wert abhängig. Setze dazu den x-Wert des ersten Punktes P1 (-3) in die Geradengleichung ein. Sie lautet nun y = 2 · (-3) + 3. Wenn du das ausrechnest, erhältst du einen y-Wert von -3. Dieser errechnete Wert entspricht auch der gegebenen y-Koordinate. Daher liegt dieser Punkt auf der Geraden.
Setze den x-Wert des zweiten Punktes P2 (2) ebenfalls in die Geradengleichung ein. Sie lautet nun y = 2 · (2) + 3. Wenn du das ausrechnest, erhältst du einen y-Wert von 7. Dieser errechnete Wert entspricht nicht der gegebenen y-Koordinate, da diese den Wert 6 hat. Daher liegt dieser Punkt nicht auf der Geraden.
| So überprüfst du Punkte einer Geraden: | So sieht's aus: |
|---|---|
| Die Gleichung der Geraden lautet: | y=2x+3 |
|
1.
Der erste Punkt P1 hat die Koordinaten (-3|-3). Der x1-Wert beträgt -3 und der y1-Wert beträgt -3. |
x1=-3 x2=-3 |
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2.
Setze den x-Wert des ersten Punktes (x1) in die Gleichung ein. Das x1 in der Gleichung wird durch die -3 ersetzt. |
y1=2x1+3 → x1=-3 y1=2·(-3)+3 |
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3.
Rechne nun die Gleichung aus, um den y1-Wert zu erhalten. Der erste y-Wert beträgt -3. |
y1=2·(-3)+3 y1=-6+3 y1=-3 |
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4.
Dieser errechnete Wert entspricht auch der gegebenen y‑Koordinate. Daher liegt dieser Punkt auf der Geraden. |
gegeben: y1=-3 errechnet: y1=-3 |
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5.
Setze den x-Wert des zweiten Punktes (x2) in die Gleichung ein. Das x2 in der Gleichung wird durch die 2 ersetzt. |
y2=2x2+3 → x2=2 y2=2·(2)+3 |
|
6.
Rechne nun die Gleichung aus, um den y2-Wert zu erhalten. Der zweite y-Wert beträgt -7. |
y2=2·(2)+3 y2=4+3 y2=7 |
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7.
Dieser errechnete Wert entspricht nicht der gegebenen y‑Koordinate. Daher liegt dieser Punkt nicht auf der Geraden. |
gegeben: y2=6 errechnet: y2=7 |
Zeichnest du die beiden Punkte und die Gerade mit der Gleichung y = 2x + 3 in ein Koordinatensystem, so siehst du, dass nur der Punkt P1 auf ihr liegt. Der Punkt P2 liegt nicht auf dieser Geraden, das du auch rechnerisch bewiesen hast.
Um zu überprüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, setzt du dessen x-Koordinate in die Gleichung der Geraden ein. Stimmt dieser errechnete y-Wert mit der gegebenen y‑Koordinate überein, liegt dieser Punkt auf der Geraden.
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