zusammengesetzter Dreisatz

Mit dem Dreisatz kannst du aus drei vorgegebenen Werten (a, b und c) über deren Verhältnis einen gesuchten vierten Wert (x) berechnen. Das hört sich zwar zunächst recht kompliziert an, ist es aber nicht. Denn du kannst mit dem Dreisatz Aufgaben sehr einfach und anschaulich lösen, ohne große mathematische Kenntnisse anwenden zu müssen. Du brauchst dazu nur die Multiplikation und die Division, mehr nicht. Der Dreisatz macht sich dabei das Verhältnis zunutze, das zwischen den Zahlen herrscht:

a zu b verhält sich wie c zu x

Der mehrgliedrige Dreisatz ähnelt in der Anwendung dem einfachen Dreisatz, da er im Grunde aus zwei (einfachen) Dreisätzen besteht, die nacheinander berechnet werden. Die einzelnen Dreisätze sind dabei immer unterschiedlich, das bedeutet: entweder ist der erste Dreisatz proportional und der zweite umgekehrt proportional oder der erste Dreisatz ist umgekehrt proportional und der zweite proportional.

Nehmen wir an, 4 Maler streichen 250 m² Fläche in 6 Stunden. Du sollst nun berechnen, wie lange 5 Maler für 400 m² Fläche dafür brauchen.

Über den ersten Dreisatz berechnest du, wie lange 5 Maler für diese 250 m² brauchen würden. Das Verhältnis in dieser Aufgabe lautet: 4 zu 6 verhält sich wie 5 zu x. Um den gesuchten Wert x (die neue Zeit) zu erhalten, musst du zuerst auf die Einheit (1 Maler) herunter rechnen. Um von 4 auf 1 Maler zu kommen, musst du durch 4 dividieren. Das erste Verhältnis lautet daher „geteilt durch 4“ (: 4). Dieses Verhältnis drehst du um und wendest es auf den Wert b (6 Tage) an: aus „geteilt durch 4“ wird „mal 4“ (6 Stunden · 4 = 24 Stunden). Damit hast du nun die Dauer für 1 Maler berechnet. Um von 1 auf 5 Maler zu kommen, musst du mit 5 multiplizieren. Das zweite Verhältnis lautet daher „mal 5“ (· 5). Dieses Verhältnis drehst du um und wendest es auf die 24 Stunden an: aus „mal 5“ wird „geteilt durch 5“ (24 Stunden : 5 = 4,8 Stunden) Damit hast du nun die Dauer für 5 Maler berechnet. 5 Maler benötigen für 250 m² 4,8 Stunden.

Über den zweiten Dreisatz berechnest du, wie lange 5 Maler für 400 m² brauchen würden. Das Verhältnis in dieser Aufgabe lautet: 250 zu 4,8 verhält sich wie 400 zu x. Um den gesuchten Wert x (die neue Zeit) zu erhalten, musst du zuerst auf die Einheit (1 m²) herunter rechnen. Um von 250 auf 1 m² zu kommen, musst du durch 250 dividieren. Das dritte Verhältnis lautet daher „geteilt durch 250“ (: 250). Dieses Verhältnis wendest du auf den Wert b (4,8 Stunden) an: 4,8 Stunden : 250 = 0,0192 Stunden (1,152 Minuten). Damit hast du nun die Dauer für 1 m² berechnet.

Um von 1 auf 400 m² zu kommen, musst du mit 400 multiplizieren. Das vierte Verhältnis lautet daher „mal 400“ (· 400). Dieses Verhältnis wendest du auf die 0,0192 Stunden an: 0,0192 Stunden · 400 = 7,68 Stunden. Damit hast du nun die Dauer für 400 m² berechnet. 5 Maler benötigen für 400 m² 7,68 Stunden.

So wendest du den Dreisatz an:	So sieht's aus:
Du sollst diese Aufgabe lösen.	4 Maler streichen 250 m² Fläche in 6 Stunden. Wie lange brauchen 5 Maler für 400 m²?
1. Bestimme zunächst das erste Verhältnis: Um von 4 Maler auf 1 Maler zu kommen, musst du mit 4 dividieren (4 : 4 = 1). Dein Verhältnis lautet „geteilt durch 4“.
2. Dividiere nun den linken Wert mit dem Verhältnis „geteilt durch 4“: 4 Maler : 4 = 1 Maler.
3. Dieses Verhältnis drehst du um und wendest es auf den rechten Wert an: aus „geteilt durch 4“ wird „mal 4“. Multipliziere ihn mit 4: 6 Stunden · 4 = 24 Stunden.
4. Bestimme dann das zweite Verhältnis: Um von 1 Maler auf 5 Maler zu kommen, musst du mit 5 multiplizieren (1 · 5 = 5). Dein Verhältnis lautet „mal 5“.
5. Multipliziere nun den linken Wert mit dem Verhältnis „mal 5“: 1 Maler · 5 = 5 Maler.
6. Dieses Verhältnis drehst du wieder um und wendest es auf den rechten Wert an: aus „mal 5“ wird „geteilt durch 5“. Dividiere ihn durch 5: 24 Stunden : 5 = 4,8 Stunden.
7. Bestimme zunächst das dritte Verhältnis: Um von 250 m² auf 1 m² zu kommen, musst du durch 250 dividieren (250 : 250 = 1). Dein Verhältnis lautet „geteilt durch 250“.
8. Dividiere nun den linken Wert mit dem Verhältnis „geteilt durch 250“: 250 Quadratmeter : 250 = 1 Quadratmeter.
9. Dieses Verhältnis wendest du auch auf den rechten Wert an. Dividiere ihn auch durch 250: 4,8 Stunden : 250 = 0,0192 Stunden.
10. Bestimme dann das vierte Verhältnis: Um von 1 m² auf 400 m² zu kommen, musst du mit 400 multiplizieren (1 · 400 = 400). Dein Verhältnis lautet „mal 400“.
11. Multipliziere nun den linken Wert mit dem Verhältnis „mal 400“: 1 Quadratmeter · 400 = 400 Quadratmeter.
12. Dieses Verhältnis wendest du auch auf den rechten Wert an. Multipliziere ihn auch mit 400: 0,0192 Stunden · 400 = 7,68 Stunden.

Bei einem zusammengesetzten Dreisatz verändern sich drei Werte. Daher besteht er aus zwei einzelnen Dreisätzen, die nacheinander angewendet werden.