lineare Funktion

Eine Funktion ist ein mathematischer Ausdruck, bei dem ein bestimmtes Verhältnis zwischen zwei Mengen herrscht. Jedem Element der ersten Menge (x-Wert) wird ein Element der zweiten Menge (y-Wert) zuordnet. Das bedeutet, zu jedem x-Wert gibt es einen y-Wert. Die Elemente der ersten Menge werden auch Funktionsargumente genannt. Sie sind die unabhängigen Variablen. Die Elemente der zweiten Menge werden auch Funktionswerte genannt. Sie sind die abhängigen Variablen oder die y-Werte. Abhängig deswegen, weil sie sich auf die x-Werten beziehen. Geschrieben werden Funktion als Gleichung in der Form y = f(x). Jeder y-Wert ergibt sich aus dem x-Wert.

Nehmen wir als Beispiel eine sehr einfache Funktion: f(x) = 0,5 · x + 1. Du sollst also anstelle von x eine Zahl einsetzen und sie halbieren (0,5 · x). Anschließend zählst du zu deinem Ergebnis den Wert 1 hinzu. Das Verhältnis besteht also darin, dass das Ergebnis stets die um den Wert 1 erhöhte Hälfte deiner eingesetzten Zahl ist. Ausgeschrieben würde die Funktion so aussehen: y = f(x) = 0,5 · x + 1. Jeder y-Wert ist also das Ergebnis aus der um eins erhöhten Hälfte des dazugehörenden x-Wertes.

Beginnen wir bei der Zahl 0 und setzen sie anstelle dem x in die Funktion ein: y = f(x) = 0,5 · 0 + 1. Du erhältst einen y-Wert von 1, da 0,5 · 0 = 0 und 0 + 1 = 1. Nun setzen wir die Zahl 1 anstelle dem x ein: y = f(x) = 0,5 · 1 + 1. Du erhältst einen y-Wert von 1,5, da 0,5 · 1 = 0,5 und 0,5 + 1 = 1,5. Bei einer 2 erhältst du einen Wert von 2, da 0,5 · 2 = 1 und 1 + 1 = 2. Bei einer 3 erhältst du einen Wert von 2,5 (0,5 · 3 = 1,5 und 1,5 + 1 = 2,5), bei einer 4 erhältst du einen Wert von 3 (0,5 · 4 = 2 und 2 + 1 = 3) usw.

Du kannst die Werte in einer sogenannten Wertetabelle berechnen. Du siehst, jeder x-Wert hat einen von ihm abhängigen y-Wert.

Sicherlich hast du bereits festgestellt, dass sich die y-Werte in einem gleichen Rhythmus fortsetzten. Dieser Rhythmus ist bei allen Zahlen gleich und wird auch als linear (von lateinisch linea »Linie«) bezeichnet. Daher spricht man auch von einer linearen Funktion. Würdest du diese Funktion zeichnen, so ergäbe sich tatsächlich eine gerade Linie, die leicht nach rechts oben ansteigen würde. Diese Linie (Gerade) stellt den Funktionsgraph der linearen Funktion dar.

Die lineare Funktion ist eine Funktion, bei der sich die Funktionswerte alle auf einer Linie befinden.